¿Qué tan rápido escapa el combustible de un cohete para que alcance la velocidad de escape de 11 km/s?

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Para un cohete que no está sujeto a fuerzas externas, la conservación de la cantidad de movimiento dicta que $$m(t)\,\dot v(t) + v_e(t)\,\dot m(t) = 0$$ donde

$m(t)$ es la masa del cohete, incluido el propulsor, en el momento $t$,$v(t)$ es la velocidad del cohete en el momento $t$, relativa a algún observador inercial,$\dot v(t )$ es la aceleración del cohete en el momento $t$,$v_e(t)$ es la velocidad a la que el cohete expulsa los gases de escape, en relación con el cohete, y$\dot m(t)$ es la velocidad a la que el cohete es perdiendo masa.

Suponiendo una velocidad de escape constante, la integración de esto con respecto al tiempo da como resultado la ecuación de cohete ideal para una sola etapa de un cohete: $$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$ $ donde

$\Delta v$ es el cambio de velocidad del cohete, $v_e$ es la velocidad efectiva a la que el escape sale del cohete, $m_0$ es la masa inicial del cohete (carga útil, estructura y propulsor), $m_f$ es la masa final del cohete. masa (carga útil y estructura), y $\ln(x)$ es la función de logaritmo natural.

Esto significa que hacer que el cambio de velocidad de un cohete exceda la velocidad de escape del cohete es eminentemente alcanzable. Requiere que la masa inicial del cohete sea al menos un 63% de propulsor. Los cohetes que impulsan cosas al espacio suelen tener una masa inicial de aproximadamente un 90 % de propulsor.

Como regla general, tratar de hacer que una sola etapa de un cohete tenga un delta V que sea más de tres veces la velocidad de escape es forzar demasiado la ecuación del cohete. Eso requeriría, como mínimo, un cohete cuya masa inicial sea 95% de propulsor. Un valor más realista es un cohete cuya masa inicial está en la vecindad del 90% de propulsor. Esto da como resultado un cohete que idealmente tiene un delta V que es 2,3 veces la velocidad de escape.

Por cierto, esta es la razón por la que el concepto de un cohete en órbita de una sola etapa es atractivo y, sin embargo, aparentemente está fuera de alcance. El delta V necesario para poner una carga útil en órbita terrestre baja oscila entre más de 9 km/s y un poco más de 10 km/s, dependiendo del cohete. Un cohete cuya masa inicial es 90% de propulsor y cuya velocidad de escape es de 4 km/s (ambas factibles) idealmente puede alcanzar un delta V de 9,2 km/s. Esto está justo en el rango de lo que es factible. El problema es la palabra "idealmente". Que un cohete en órbita de una sola etapa esté justo en la cúspide de lo que es factible significa que las organizaciones que desean poner cosas en órbita o más allá inevitablemente asumen las importantes complejidades añadidas asociadas con los cohetes de múltiples etapas.