Estos son los números más grandes del universo - Gizmodo

Hay números por ahí que son tan enormes e imposiblemente vastos que incluso escribirlos requeriría todo el universo. Pero aquí está lo realmente loco... algunos de estos números incomprensiblemente enormes son cruciales para comprender el mundo.

Cuando digo "el número más grande del universo", lo que realmente quiero decir es el número significativo más grande, el número más grande posible que es de alguna manera útil. Hay muchos candidatos para este título, pero te advierto ahora: existe un riesgo muy real de que tratar de entender todo esto te deje boquiabierto. Pero luego, con las matemáticas extremas, eso es la mitad de la diversión.

También podríamos comenzar con lo que probablemente sean los dos números más grandes de los que haya oído hablar y, de hecho, son los dos números más grandes con definiciones comúnmente aceptadas en el idioma inglés. (Hay una nomenclatura bastante robusta disponible para nombrar números tan altos como quieras, pero no los encontrarás en los diccionarios en este momento). El googol, que desde entonces se ha vuelto mundialmente famoso (aunque mal escrito) en forma de Google, comenzó su vida en 1920 como una forma de hacer que los niños se interesaran en grandes números.

Con ese fin, el matemático Edward Kasner (en la foto) llevó a sus dos sobrinos, Milton y Edwin Sirotta, a dar un paseo por New Jersey Palisades. Les pidió cualquier idea que pudieran tener, y Milton, que entonces tenía nueve años, propuso "googol". Se desconoce de dónde obtuvo esta palabra en particular, pero Kasner decidió que 10 ^ 100, o el número uno seguido de cien ceros, en adelante se conocería como googol.

Pero el joven Milton no había terminado: también propuso un número aún mayor, el googolplex. Este número, según Milton, era 1 seguido de tantos ceros como pudieras escribir antes de cansarte. Aunque era una idea encantadora, Kasner decidió que se necesitaba una definición más técnica. Como explicó en su libro de 1940 Las matemáticas y la imaginación, la definición de Milton dejaba abierta la arriesgada posibilidad de que un bufón al azar pudiera convertirse en un mejor matemático que Albert Einstein simplemente por poseer una mayor resistencia.

Entonces, Kasner decidió que un googolplex sería 10^googol, o 1 seguido de un googol de ceros. Para decirlo de otra manera, y en una notación similar a la forma en que trataremos con varios otros números de los que hablaremos, un googolplex es 10 ^ 10 ^ 100. Para poner eso en una perspectiva alucinante, Carl Sagan señaló una vez que sería físicamente imposible escribir todos los ceros en un googolplex, porque simplemente no hay suficiente espacio en el universo. Si llenara todo el volumen del universo observable con partículas de polvo fino de aproximadamente 1,5 micrómetros de tamaño, entonces el número de combinaciones diferentes en las que podría organizar y numerar estas partículas sería de aproximadamente un googolplex.

Lingüísticamente hablando, googol y googolplex son probablemente los dos números más significativos (al menos en inglés), pero como estamos a punto de descubrir, hay infinitas formas de definir "significativo".

Si vamos a hablar sobre el número significativo más grande, hay un argumento no terrible de que eso realmente significa que necesitamos encontrar el número más grande con algún significado en el mundo real. Podemos comenzar la licitación con la población humana actual, que actualmente es de unos 6.920 millones. Se estima que la economía mundial en 2010 fue de alrededor de $ 61,96 billones, pero ambos se ven eclipsados ​​​​por los aproximadamente 100 cuatrillones de células que componen el cuerpo humano. Por supuesto, ninguno de estos puede compararse con el número total de partículas en el universo, que generalmente se cree que es alrededor de 10^80, un número tan grande que nuestro idioma no tiene una palabra acordada para ello.

Podemos jugar un poco con las medidas a medida que nos hacemos más y más grandes; por ejemplo, el peso del Sol en toneladas producirá un valor más pequeño que si lo mides en libras. La forma más justa de hacer esto es usar las unidades de Planck, que son las medidas más pequeñas posibles para las que aún se cumplen las leyes de la física. Por ejemplo, la edad del universo en el tiempo de Planck es de aproximadamente 8 * 10^60. Si volvemos a la primera unidad de tiempo de Planck después del Big Bang, encontramos que la densidad del universo era 5.1 * 10^96. Nos estamos haciendo más grandes, pero aún no hemos alcanzado ni un googol.

El número más grande con cualquier aplicación en el mundo real, o, en este caso, aplicación en el mundo real, es probablemente 10 ^ 10 ^ 10 ^ 7, que es una estimación reciente de la cantidad de universos en el multiverso. Ese número es tan grande que el cerebro humano sería literalmente incapaz de percibir todos esos universos diferentes, ya que la mente solo es capaz de aproximadamente 10^10^16 configuraciones. En realidad, ese número es probablemente el más grande con cualquier aplicación práctica, suponiendo que no compre la idea del multiverso. Pero todavía hay números mucho más grandes al acecho. Pero para encontrarlos, vamos a tener que aventurarnos en el campo de las matemáticas puras, y no hay mejor lugar para empezar que con los números primos.

Parte de la dificultad aquí es encontrar una buena definición de lo que realmente es un número "significativo". Una forma de pensar es en términos de números primos y compuestos. Un número primo, como probablemente recuerdes de las matemáticas de la escuela secundaria, es cualquier número cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Entonces, 2, 3 y 5 son todos números primos, mientras que 4 (2*2) y 6 (2*3) son números compuestos. Esto significa que, en última instancia, cualquier número compuesto puede reducirse a sus divisores primos. En cierto sentido, un número como 5 es más importante que, digamos, 4 porque no hay forma de expresarlo en términos de números más pequeños.

Obviamente, podemos extender esto un poco más. 100, por ejemplo, en realidad es solo 2*2*5*5, lo que significa que en un mundo hipotético donde nuestro conocimiento de los números solo llegara a 5, los matemáticos aún podrían expresar el número 100. Pero el siguiente número 101 es primo, lo que significa que la única forma de expresarlo es teniendo conocimiento directo de su existencia. Esto significa que los números primos más grandes conocidos son importantes de una manera que, digamos, un googol, que en última instancia es solo un montón de 2 y 5 multiplicados, realmente no lo es. Y, debido a que los números primos son esencialmente aleatorios, no existe una forma conocida de predecir qué número imposiblemente grande será realmente primo. Hasta el día de hoy, el descubrimiento de un nuevo número primo es un gran problema.

Los matemáticos de la antigua Grecia entendieron el concepto de números primos al menos desde el año 500 a. C., pero 2000 años después, la gente solo sabía qué números eran primos hasta aproximadamente 750. Pensadores tan antiguos como Euclides vieron un atajo potencial, pero no sería así. No será hasta el Renacimiento que los matemáticos realmente pudieron poner esto en práctica. Estos se conocen como los números de Mersenne, llamados así por el erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne. La idea es bastante simple: un primo de Mersenne es cualquier número de la forma 2^n-1. Entonces, por ejemplo, 2 ^ 2 - 1 = 4 - 1 = 3, que es primo, y lo mismo es cierto para 2 ^ 5 - 1 = 32 - 1 = 31.

Es mucho más rápido y fácil identificar los números primos de Mersenne que cualquier otro tipo de número primo, y las computadoras han estado trabajando arduamente para buscarlos durante las últimas seis décadas. Hasta 1952, el número primo más grande conocido era 2^127 - 1, un número de 39 dígitos. Ese año, las computadoras determinaron que 2^521 - 1 es primo, y ese número tiene 157 dígitos, lo que lo hace mucho más grande que un googol.

Las computadoras han estado a la caza desde entonces, y actualmente el número 47 de Mersenne es el más grande conocido por la humanidad. Descubierto en 2008, es 2^43,112,609 - 1, que es un número con casi 13 millones de dígitos. Ese es el número más grande conocido que no se puede expresar en términos de números más pequeños, aunque si desea ayudar a encontrar un primo de Mersenne aún más grande, usted (y su computadora) siempre pueden unirse a la búsqueda.

Quedémonos con los números primos por un segundo. Como dije antes, los números primos son fundamentalmente irregulares, lo que significa que no hay forma de predecir cuál será el próximo número primo. Los matemáticos han tenido que hacer todo lo posible para encontrar una forma de predecir futuros números primos incluso en los sentidos más vagos. El más exitoso de estos intentos es probablemente la función de contar números primos, ideada por el legendario matemático Carl Friedrich Gauss a fines del siglo XVIII.

Te ahorraré las matemáticas más complejas, todavía tenemos muchas por venir, pero la esencia de la función es esta: para cualquier número entero x, es posible estimar cuántos números primos hay que son más pequeños que x. . Por ejemplo, si x = 1000, la función predice que debe haber 178 números primos; si x = 10 000, hay 1 246 números primos menores que él; y si x = 1 000 000, entonces hay 78 628 números menores que son primos.

Sin embargo, aquí está la cosa: los números primos realmente son irregulares, por lo que esto es solo una aproximación cercana del número real de números primos. En realidad, sabemos que hay 168 primos menores que 1000, 1229 primos menores que 10 000 y 78 498 primos menores que 1 000 000. Es una excelente estimación, sin duda, pero siempre es solo una estimación... y, más específicamente, una sobreestimación.

En todos los casos conocidos hasta alrededor de 10^22, la función de conteo de números primos sobrestima ligeramente el número real de números primos menores que x. Los matemáticos alguna vez pensaron que este sería el caso hasta el infinito -ciertamente es cierto para algunas cantidades inimaginablemente grandes- pero en 1914 John Edensor Littlewood demostró que, en alguna figura desconocida e incomprensiblemente grande, la función de contar primos comenzaría proporcionando una subestimación del número de primos, y luego la función volvería a cambiar entre sobreestimaciones y subestimaciones un número infinito de veces.

La búsqueda estaba en el punto de cruce, y ahí es donde Stanley Skewes (en la foto) hace su entrada. En 1933, demostró que el límite superior para cuando la función de conteo de primos se convierte por primera vez en una subestimación es 10 ^ 10 ^ 10 ^ 34. Es difícil comprender realmente, incluso en el sentido más abstracto, qué es realmente un número como ese, y hasta ese momento era fácilmente el número más grande jamás utilizado en una prueba matemática seria. Desde entonces, los matemáticos han podido reducir el límite superior a la cifra relativamente pequeña de alrededor de 10^316, pero la cifra original sigue siendo conocida como el número de Skewes.

Entonces, ¿qué tan grande es 10 ^ 10 ^ 10 ^ 34, un número que empequeñece incluso al poderoso googolplex? En The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells relata una forma en la que el matemático GH Hardy logró conceptualizar el tamaño del número de Skewes:

Hardy pensó que era "el número más grande que jamás haya tenido un propósito definido en matemáticas", y sugirió que si se jugara un juego de ajedrez con todas las partículas del universo como piezas, un movimiento sería el intercambio de un par de partículas, y el juego termina cuando la misma posición se repite por tercera vez, el número de juegos posibles sería aproximadamente el número de Skewes.

Una última cosa antes de continuar: el número de Skewes del que hemos estado hablando es el más pequeño de los dos. Hay otro número de Skewes que el matemático demostró en 1955. El primer número se basa en que algo llamado hipótesis de Riemann es cierto: es una parte matemática particularmente compleja que aún no se ha probado pero que es de gran ayuda cuando se trata de números primos. Aún así, si la hipótesis de Riemann es falsa, Skewes descubrió que el punto de cruce salta hasta 10^10^10^963.

Antes de llegar al número que hace que incluso el número de Skewes parezca pequeño, debemos hablar un poco sobre la escala, porque de lo contrario no hay forma de apreciar a dónde estamos a punto de llegar. Veamos primero el número 3: es un número diminuto, tan pequeño que los humanos pueden tener una comprensión intuitiva de lo que significa. Hay muy pocos números que se ajusten a esa descripción, ya que algo más allá de seis deja de ser un número distinto y comienza a ser "varios", "muchos", etc.

Ahora, echemos un vistazo a 3^3, que es 27. Si bien no podemos entender intuitivamente qué es 27 de la misma manera que podemos entender 3, es perfectamente fácil visualizar qué es 27 de algo. Hasta ahora tan bueno. Pero, ¿y si pasamos a 3^3^3? Eso es igual a 3^27, o 7,625,597,484,987. Ya pasamos el punto de poder visualizar esa cantidad como algo más que un número genéricamente grande: perdemos la capacidad de comprender las partes individuales en algún lugar alrededor de un millón. (Es cierto que tomaría una cantidad de tiempo increíblemente larga contar un millón de cualquier cosa, pero el punto es que aún podemos percibirlo).

Aun así, aunque no podemos visualizar qué es 3^3^3, al menos podemos entender en términos generales qué es 7,6 billones, tal vez comparándolo con algo como el PIB de EE. UU. Hemos pasado de la intuición a la visualización a la mera comprensión, pero al menos todavía tenemos una idea de cuál es el número. Eso está a punto de cambiar, a medida que avanzamos otro peldaño en la escalera.

Para esto, necesitaremos cambiar a una notación inventada por Donald E. Knuth, conocida como notación de flecha hacia arriba. En esta notación, 3^3^3 se puede reescribir como 3^^3. Cuando pasamos a 3^^^3, el valor del que estamos hablando es igual a 3^^(3^^3). Esto es igual a 3^3^3^...^3^3^3, donde hay un total de 7.625.597.484.987 términos. Ahora hemos superado con creces todos los demás números que hemos discutido. Después de todo, incluso el mayor de ellos tenía solo tres o cuatro términos en la serie exponencial. Por ejemplo, incluso el número de Super-Skewes era "solo" 10 ^ 10 ^ 10 ^ 963, incluso ajustando el hecho de que todos esos son números mucho más grandes que 3, todavía no es absolutamente nada en comparación con una torre exponencial con 7,6 billones de términos. .

Obviamente, no hay forma de siquiera comenzar a comprender un número tan grande... y, sin embargo, el proceso por el cual se crea todavía se puede entender. Es posible que no podamos comprender el número real que produce una torre de exponentes con 7,6 billones de 3, pero básicamente podemos visualizar una torre de exponentes con tantos términos y, de hecho, una supercomputadora decente sería capaz de almacenar el torre, incluso si no pudiera empezar a calcular su valor real.

Esto se está volviendo cada vez más abstracto, pero solo empeorará. Podrías pensar que 3^^^^3 es una torre exponente de 3 que tiene 3^^^3 de largo (de hecho, en una versión anterior de esta publicación, cometí precisamente ese error), pero eso es solo 3^^^ 4. En otras palabras, imagina que tienes la capacidad de calcular el valor preciso de una torre exponencial de 3 que tiene 7,625,597,484,987 términos de largo, y luego tomas ese valor y creas una nueva torre con tantos 3 en ella... eso te da 3 ^^^4.

Repetir ese proceso con cada número sucesivo hasta que lo hayas hecho 3^^^3 veces te llevará, por fin, a 3^^^^3. Este es un número que es incomprensiblemente grande, pero al menos los pasos involucrados todavía pueden entenderse, si tomamos las cosas con mucha calma. Ya no podemos entender el número o visualizar el procedimiento que lo crearía, pero al menos podemos entender el procedimiento básico, aunque solo sea en los términos más vagos posibles.

Ahora prepárate para que tu mente esté realmente alucinada.

Así es como se llega al número de Graham, que ocupa un lugar en el Libro Guinness de los récords mundiales como el número más grande jamás utilizado en una demostración matemática. Es completamente imposible imaginar cuán grande es el número de Graham y, sinceramente, no es mucho más fácil explicar exactamente qué es. Básicamente, el número de Graham entra en juego cuando se trata de hipercubos, que es una forma geométrica teórica con más de tres dimensiones. El matemático Ronald Graham (en la foto, asombrosamente) quería averiguar cuál sería el menor número de dimensiones necesarias para que ciertas propiedades del hipercubo permanecieran estables. (Lamento ser tan vago al explicar esto, pero estoy bastante seguro de que todos tendríamos que obtener al menos dos títulos de posgrado en matemáticas antes de ser más específicos).

En cualquier caso, el número de Graham es el límite superior de este número mínimo de dimensiones. ¿Y qué tan grande es este límite superior en particular? Bueno, regresemos a 3^^^^3, un número tan grande que solo podemos entender el procedimiento detrás de él en un sentido muy vago. Ahora, en lugar de simplemente saltar un nivel más a 3^^^^^3, vamos a considerar el número 3^^....^^3, en el que hay 3^^^^3 flechas entre esos dos tres. En este punto, estamos mucho más allá de la más mínima comprensión posible de lo que es un número como este, o incluso cómo harías para calcularlo.

Ahora repite ese proceso 62 veces más.

Eso, damas y caballeros, es el número de Graham, un número que está alrededor de 64 órdenes de magnitud más allá del punto de comprensión humana. Este es un número que es mucho más grande que cualquier número que puedas imaginar (diablos, es mucho más grande que cualquier infinito que puedas imaginar) que simplemente desafía incluso la más abstracta de las descripciones.

Pero aquí está lo extraño. Debido a que el número de Graham es básicamente un montón de 3 multiplicados, eso significa que podemos conocer algunas de sus propiedades sin tener que calcularlo todo. No podemos representar el número de Graham con ninguna notación familiar, incluso si usamos todo el universo para escribirlo, pero puedo decirles ahora cuáles son los últimos doce dígitos del Número de Graham: 262,464,195,387. Y eso no es nada, conocemos al menos los últimos 500 dígitos del número de Graham.

Por supuesto, vale la pena recordar que este número es solo un límite superior para el problema original de Graham. Es posible que la cantidad real de dimensiones que necesita para que se mantengan las propiedades sea mucho, mucho menor. De hecho, en la década de 1980, la opinión considerada de la mayoría de los expertos en esta área era que la respuesta real era solo seis, un número tan pequeño que podemos entenderlo en un nivel intuitivo. Desde entonces, el límite inferior se elevó a 13, pero todavía hay una gran posibilidad de que la solución real al problema de Graham no sea tan grande como el número de Graham.

Entonces, ¿hay números incluso más grandes que el número de Graham? Bueno, por supuesto que los hay, está el número + 1 de Graham, para empezar. En cuanto a los números significativos... bueno, hay algunas áreas diabólicamente complicadas de las matemáticas (particularmente un área conocida como combinatoria) y ciencias de la computación que presentan números incluso más grandes que el número de Graham. Pero prácticamente hemos llegado al límite de lo que podría esperar explicar con sensatez. Para aquellos lo suficientemente temerarios como para profundizar aún más, puede consultar algunas de las lecturas adicionales bajo su propio riesgo.

Y, sin embargo, todavía hay algo aún más grande ahí fuera, algo tan grande que el término deja de tener todo significado: infinito. Así que únase a nosotros la próxima semana para la segunda parte de nuestra odisea en los números más grandes imaginables, mientras examinamos todos los sabores del infinito. Hasta entonces, los dejo con esta increíble cita atribuida a Douglas Reay:

Tengo esta visión de montones de números sombríos que acechan en la oscuridad, más allá de la pequeña esfera de luz que arroja la vela de la razón. Están susurrando entre ellos; tramando quién sabe qué. Tal vez no les gustemos mucho por capturar a sus hermanos más pequeños con nuestras mentes. O tal vez simplemente viven estilos de vida singularmente numéricos, más allá de nuestro conocimiento.

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