Demasiado grande para escribir pero no demasiado grande para Graham | plus.maths.org

Recientemente, cuando estábamos escribiendo nuestro libro Numericon, nos encontramos con lo que ahora se ha convertido en uno de nuestros números favoritos: el número de Graham. Una de las razones por las que nos encanta es que este número es grande. En realidad, eso es un eufemismo. El número de Graham es alucinantemente enorme.

Nuestro nuevo número favorito es mayor que la edad del Universo, ya sea que se mida en años (aproximadamente 14 mil millones de años) o en segundos (4,343 x 1017 segundos). Es mayor que el número de Avogadro, un considerable 6,02214129 x 1023. Este es el número de átomos de hidrógeno en 1 gramo de hidrógeno, que se llama mol y es la unidad estándar para medir una cantidad de una sustancia en química o física.

El número de Graham es más grande que el número de átomos en el Universo observable, que se cree que está entre 1078 y 1082. Es más grande que el número 48 de Mersenne,

257.885.161-1,

el número primo más grande que conocemos, que tiene unos impresionantes 17.425.170 dígitos. Y es más grande que el famoso googol, 10100 (un 1 seguido de 100 ceros), que fue definido en 1929 por el matemático estadounidense Edward Kasner y nombrado por su sobrino de nueve años, Milton Sirotta. (Esto puede sonar familiar, ya que Google fue nombrado después de este número, aunque se escribieron mal).

El número de Graham también es más grande que un googolplex, que Milton definió inicialmente como un 1, seguido de ceros hasta que te canses, pero ahora se acepta comúnmente que es 10googol=10(10100). Un googleplex es significativamente más grande que el número 48 de Mersenne. Usted, o más bien una computadora, puede escribir el número 48 de Mersenne en su totalidad, los 17 425 170 dígitos del mismo. Pero, a pesar de que puedo decirle cuál es cualquier dígito en el googolplex (el primero es un 1, el resto son todos 0), ninguna persona, ninguna computadora, ninguna civilización podrá escribirlo en su totalidad. Esto se debe a que no hay suficiente espacio en el Universo para escribir todos los dígitos de googol + 1 de un googolplex. Como Kasner, y su colega James Newman, dijo del googolplex (en su maravilloso libro de la década de 1940, Matemáticas y la imaginación, que presentó al mundo estos números): "Te darás una idea del tamaño de este número muy grande pero finito por el hecho de que hay no habría suficiente espacio para escribirlo, si fueras a t La estrella más lejana, recorriendo todas las nebulosas y poniendo ceros a cada centímetro del camino".

El número de Graham es más grande que el googolplex. Es tan grande que el Universo no contiene suficiente material sobre el que escribir sus dígitos: es literalmente demasiado grande para escribirlo. Pero este número es finito, también es un número entero y, a pesar de ser tan increíblemente grande, sabemos que lo es. divisible por 3 y termina en 7.

Una gran fiesta

Los orígenes del número de Graham se remontan a 1928 cuando un joven y brillante matemático, Frank Ramsey, notó algo sorprendente mientras trabajaba en un artículo sobre lógica: el desorden completo parecía imposible. de cualquier tamaño siempre están garantizados si el sistema es lo suficientemente grande.

Este resultado, que era solo una pequeña parte del artículo en particular en el que estaba trabajando, fue el comienzo de un campo completamente nuevo de las matemáticas llamado Teoría de Ramsey. Esta área de las matemáticas a menudo se explica con el ejemplo de una fiesta. Suponga que está tienes una fiesta y quieres asegurarte de invitar a una buena mezcla de personas y decides hacer un seguimiento de quién sabe quién. Supón que dibujas un mapa de las relaciones de todos tus amigos, vinculando a dos personas con un borde azul si son amigos y con un borde rojo si son extraños. Entonces podría terminar con algo como esto:

Ahora, esto parece bastante complicado y se necesitaría mucha información para describir quién está conectado por bordes rojos y quién está conectado por bordes azules. Pero si te acercas solo a Ann, Bryan y David, todos están unidos por bordes rojos. .Este triángulo rojo es un ejemplo de orden escondido en la desordenada red general. Cuanto más ordenado es un sistema, más simple es su descripción. La red de amistad más ordenada es aquella que tiene todas las aristas del mismo color: es decir, todos son amigos o todos son extraños.

Ramsey descubrió que no importaba cuánto orden estuviera buscando, ya fueran tres personas que eran todos amigos y extraños o veinte personas que eran todos amigos y extraños, estaba garantizado que lo encontraría siempre que el sistema en el que estaba buscando fuera lo suficientemente grande. Para garantizarte un grupo de tres personas que sean todas amigas o todas desconocidas, necesitas una red de amistad de seis personas: cinco personas no son suficientes, como muestra este contraejemplo.

El número de personas que necesitas para garantizar que encontrarás tres amigos o tres extraños se llama el número de Ramsey R(3,3). Conocemos algunos números de Ramsey: hemos visto que R(3,3)=6 , y se ha demostrado que R(4,4), el número de personas que necesitas para garantizar que encontrarás cuatro amigos o cuatro extraños, es 18. Pero nos topamos con una pared muy rápido. Por ejemplo, no sabemos qué es R(5,5). Sabemos que está entre 43 y 49, pero eso es lo más cerca que podemos llegar por ahora.

Parte del problema es que los números en la teoría de Ramsey crecen increíblemente muy rápido. Si observamos las relaciones entre tres personas, nuestra red tiene solo tres bordes y hay 23 formas razonables de colorear la red. Para cuatro personas hay son seis aristas y 26=64 colores posibles. Pero para las relaciones entre seis personas hay quince aristas y ya tenemos que considerar 215 = 32,768 colores posibles difíciles de manejar. Los matemáticos están bastante seguros de que R (5,5) es igual a 43, pero no han encontrado una manera de demostrarlo. .Una opción sería verificar todos los colores posibles para una red de 43 personas. Pero cada uno de estos tiene 903 bordes, por lo que tendría que verificar todos los 2903 colores posibles: más colores que átomos en el observable. ¡Universo!

Demasiado grande para escribir pero no demasiado grande para Graham

Los números grandes siempre han sido parte de la teoría de Ramsey, pero en 1971 el matemático Ronald Graham ideó un número que empequeñecía a todos los anteriores. Estableció un límite superior para un problema en el área que era, en ese momento, el mayor número definido explícitamente. jamás publicado. En lugar de dibujar redes de relaciones entre personas en una hoja plana de papel como lo hemos hecho hasta ahora, Graham estaba interesado en redes en las que las personas estaban sentadas en las esquinas de un cubo.

En esta imagen podemos ver que para un corte diagonal plano particular a través del cubo, uno que contiene cuatro de las esquinas, todos los bordes son rojos. Pero no todos los colores de un cubo tridimensional tienen un corte de un solo color. Afortunadamente, sin embargo, los matemáticos también tienen una forma de pensar en los cubos de dimensiones superiores. Cuanto mayor sea la dimensión, más esquinas hay: un cubo tridimensional tiene 8 esquinas, un cubo de cuatro dimensiones tiene 16 esquinas, un cubo de cinco dimensiones tiene 32 esquinas y así sucesivamente. Graham quería saber qué tamaño tenía que tener la dimensión del cubo para garantizar que existiera una rebanada de un solo color.

Graham se las arregló para encontrar un número que garantizara que tal porción existiera para un cubo de esa dimensión. Pero este número, como mencionamos anteriormente, era absolutamente masivo, tan grande que es demasiado grande para escribirlo dentro del Universo observable. Sin embargo, Graham era capaz de definir explícitamente este número utilizando una notación ingeniosa llamada notación de flecha hacia arriba que amplía nuestras operaciones aritméticas comunes de suma, multiplicación y exponenciación.

Podemos pensar en la multiplicación como una suma repetida:

3x3 = 3+3+3

y exponenciación como multiplicación repetida:

33 = 3x3x3.

Si definimos la operación de una sola flecha, ↑, como exponenciación, entonces:

3↑3 = 33 = 3x3x3 = 27,

entonces podemos definir la operación de doble flecha ↑↑ como

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 333 = 327 = 7.625.597.484.987.

Podemos seguir construyendo nuevas operaciones repitiendo las anteriores. La siguiente sería la triple flecha

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7,625,597,484,987

¡una torre de poderes de 3 que tiene 7,625,597,484,987 niveles de altura! (Vea aquí para leer sobre la notación de flecha hacia arriba con más detalle).

El número que se conoce como el número de Graham (no es el número exacto que apareció en su artículo inicial, es un número un poco más grande y un poco más fácil de definir que le explicó a Martin Gardner poco después) se define usando este up- notación de flecha, en un proceso acumulativo que crea torres de poder de tres que rápidamente se mueven en espiral más allá de cualquier magnitud que podamos imaginar.

Pero lo que nos encanta del número de Graham es que esta cantidad inimaginablemente grande no es un concepto teórico: es un número exacto. Sabemos que es un número entero, de hecho, es fácil ver que este número es un múltiplo de tres debido a la forma en que se define como una torre de potencias de tres. Y los matemáticos han aprendido mucho sobre los procesos utilizados para definir el número de Graham, incluido el hecho de que una vez que una torre de energía es lo suficientemente alta, los dígitos decimales más a la derecha eventualmente seguirán siendo los mismos, no importa cuántos niveles más agregues a tu torre de poderes. El número de Graham puede ser demasiado grande para escribirlo, pero sabemos que termina en siete. Las matemáticas tienen el poder no solo de definir lo inimaginable sino también de investigarlo.

Acerca de este artículo

Rachel Thomas y Marianne Freiberger son las editoras de Plus. Este artículo es un extracto editado de su nuevo libro Numericon: un viaje a través de las vidas ocultas de los números.