Com que rapidez o combustível escapa de um foguete para que ele atinja a velocidade de escape de 11 km/s?

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Para um foguete que não está sujeito a forças externas, a conservação do momento determina que $$m(t)\,\dot v(t) + v_e(t)\,\dot m(t) = 0$$ onde

$m(t)$ é a massa do foguete, incluindo o propelente, no instante $t$,$v(t)$ é a velocidade do foguete no instante $t$, relativa a algum observador inercial,$\dot v(t )$ é a aceleração do foguete no instante $t$,$v_e(t)$ é a velocidade na qual o foguete expele a exaustão, em relação ao foguete, e $\dot m(t)$ é a taxa na qual o foguete é perdendo massa.

Assumindo uma velocidade de exaustão constante, integrando isso em relação ao tempo resulta na equação ideal do foguete para um único estágio de um foguete: $$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$ $ onde

$\Delta v$ é a variação da velocidade do foguete,$v_e$ é a velocidade efetiva na qual o escapamento deixa o foguete,$m_0$ é a massa inicial do foguete (carga útil, estrutura e propelente),$m_f$ é a massa final do foguete massa (carga útil e estrutura), e $\ln(x)$ é a função logarítmica natural.

Isso significa que ter a mudança de velocidade de um foguete excedendo a velocidade de exaustão do foguete é eminentemente alcançável. Requer que a massa inicial do foguete seja de pelo menos 63% de propelente. Foguetes que impulsionam coisas para o espaço normalmente têm uma massa inicial de cerca de 90% de propelente.

Como regra geral, tentar fazer com que um único estágio de um foguete tenha um delta V que seja mais de três vezes a velocidade de exaustão é forçar a equação do foguete um pouco demais. Isso exigiria, no mínimo, um foguete cuja massa inicial fosse de 95% de propelente. Um valor mais realista é um foguete cuja massa inicial está na vizinhança de 90% do propelente. Isso resulta em um foguete que idealmente tem um delta V que é 2,3 vezes a velocidade de exaustão.

A propósito, é por isso que o conceito de um único estágio para orbitar o foguete é atraente e, ao mesmo tempo, aparentemente fora de alcance. O delta V necessário para colocar uma carga útil na órbita baixa da Terra varia de mais de 9 km/s a um pouco mais de 10 km/s, dependendo do foguete. Um foguete cuja massa inicial é de 90% do propelente e cuja velocidade de exaustão é de 4 km/s (ambas possíveis) pode atingir um delta V de 9,2 km/s. Isso está apenas no alcance do que é viável. O problema é a palavra "idealmente". O fato de um foguete de um único estágio para orbitar está no limite do que é viável significa que as organizações que desejam colocar coisas em órbita ou além inevitavelmente assumem as significativas complexidades adicionais associadas aos foguetes de múltiplos estágios.