Os números mais massivos que existem | Ciência ao vivo

Aquilo é enorme!

The 'Infinity Environment', uma instalação de arte de Doug Wheeler em exibição na Galeria Doug Zwirner em Nova York. (Crédito da imagem: Tim Nighswander/IMAGING4ART, cortesia de David Zwirner, Nova York (c) 2012 Doug Wheeler)

Grandes números estão por toda parte, desde as células do corpo humano até o tamanho do universo. Mas uma vez que os números ultrapassam o reino do físico, a mente humana pode lutar para entender a escala impressionante desses números. Mesmo o infinito pode parecer mais fácil de entender em comparação – ele continua e continua. E quando os números começam a ficar grandes o suficiente, tudo começa a se confundir, disse Jon Borwein, matemático aplicado da Universidade de Newcastle, na Austrália.

"Não entendemos números nessa escala", disse Borwein.

Do humilde trilhão ao número de Graham, aqui estão alguns dos números mais incompreensíveis que existem.

Grande é relativo

Esta imagem de um fly-through animado do novo mapa do universo criado pelo Sloan Digital Sky Survey-III mostra as posições das galáxias mapeadas no espaço 3D. (Crédito da imagem: Miguel A. Aragón (Universidade Johns Hopkins), Mark SubbaRao (Planetário Adler), Alex Szalay (Universidade Johns Hopkins), Yushu Yao (Lawrence Berkeley National Laboratory, NERSC) e a Colaboração SDSS-III)

Ao pensar em um orçamento pessoal, um teto de dívida de US$ 16 trilhões é bastante inconcebível. Mas na escala dos átomos no universo, parece absolutamente insignificante em comparação, disse Scott Aaronson, cientista da computação do MIT.

Para tentar entender números enormes, a maioria das pessoas confia em analogias de escala. Por exemplo, Carl Sagan comparou a idade do universo a um ano civil, com os humanos aparecendo apenas nas últimas horas da véspera de Ano Novo.

Hipótese de Riemann

Números de negociação do mercado de ações. (Crédito da imagem: Mclek, Shutterstock)

Afirmada pela primeira vez em 1859, a hipótese de Riemann é uma das maiores conjecturas não resolvidas da matemática, e quem a resolver ganhará um prêmio de US$ 1 milhão. "Esta é a maior questão em aberto na matemática, aquela que garantirá que seu nome seja conhecido em 10.000 anos", disse Borwein.

A hipótese, se verdadeira, tem implicações importantes para a distribuição de números primos, que não são divisíveis por nada além de si mesmos ou um. Para testar a hipótese, os matemáticos procuram primos extremamente grandes – aqueles maiores que cerca de 10 elevados à potência de 30, disse ele. Isso pode parecer abstrato, mas tem muitas implicações no mundo real, disse Borwein. "Os primos estão embutidos em tudo o que usamos para criptografia", disse ele. “Tudo isso depende de coisas em que os algoritmos são projetados usando propriedades de primos que achamos que são verdadeiras, mas não sabemos”.

O universo

(Crédito da imagem: NASA)

Já em Arquimedes, os filósofos se perguntavam quantas partículas minúsculas poderiam caber no universo. Arquimedes estimou que cerca de 10 elevado a 63 grãos de areia poderiam preencher o universo. Ele usou uma série de estimativas extremamente grosseiras – as sementes de papoula que formam um grão de areia, os grãos de areia que cobririam o comprimento de um estádio e os comprimentos dos estádios entre a Terra e o Sol, disse Henry Mendell, historiador clássico da Universidade Estadual da Califórnia, Los Angeles.

Apesar de suas medidas grosseiras, ele não estava muito longe. As estimativas atuais colocam o número total de átomos no universo em cerca de 10 elevado a 80.

Fator de Fudge Quântico

O aglomerado de galáxias Abell 1689 é famoso pela forma como desvia a luz em um fenômeno chamado lente gravitacional. Um novo estudo do aglomerado está revelando segredos sobre como a energia escura molda o universo. (Crédito da imagem: NASA, ESA, E. Jullo (JPL/LAM), P. Natarajan (Yale) e JP. Kneib (LAM))

Quando Einstein concebeu suas equações da relatividade, ele incluiu uma pequena constante, chamada constante cosmológica, para explicar o fato de que o universo é estacionário. Embora mais tarde ele tenha descartado a constante quando soube que o universo está se expandindo, acontece que o gênio pode ter entendido algo: os cientistas acreditam que a constante cosmológica, que equivale a apenas 10 elevada à potência de menos 122, revela pistas para a energia escura que está acelerando misteriosamente o universo, disse Aaronson.

Hércules e a Hidra

Este cata-vento de madeira pintada foi esculpido por Warren Gould Roby, um caldeireiro americano, entre 1825 e 1850. Originalmente feito para uso no telhado de sua própria casa em Massachusetts, hoje é considerado uma expressão americana clássica da beleza feminina da sereia. (Crédito da imagem: Museu Shelburne, Shelburne, Vermont)

Às vezes as coisas precisam ficar grandes antes de ficarem pequenas. Em 1982, os matemáticos Jeff Paris e Laurie Kirby formularam um enigma: imagine Hércules lutando contra uma Hidra que cresce cabeças como uma árvore. Se ele cortar uma cabeça, o monstro mítico simplesmente volta a crescer um certo número de cabeças governadas por algumas regras. Surpreendentemente, Hércules sempre prevalecerá contra a Hidra e cortará todas as cabeças da Hidra.

Mas mesmo que Hércules seja inteligente e escolha a estratégia mais eficiente, a Hidra primeiro crescerá mais do que um googolplex de cabeças (ou 10 elevado ao poder de 10 elevado ao poder de 100).

Mersenne Prime

O maior número primo foi descoberto. (Crédito da imagem: Andreas Guskos | Shutterstock.com)

Os primos de Mersenne são uma classe de números que ficam grandes com pressa. Esses números primos são iguais a 2 elevado à potência de um número primo menos 1. Enquanto os primeiros começam pequenos - 3, 7, 31 - eles explodem tornar-se incrivelmente grande com extrema rapidez. Até cerca de 1951, apenas 12 desses primos eram conhecidos, mas neste ano, 48 eram conhecidos.

Para lidar com esses números gigantescos, os cientistas usam o Great Internet Mersenne Primes Search (GIMPS), que usa o poder de computação de milhares de usuários da Internet para procurar os números primos indescritíveis. O maior número primo conhecido, 2^57.885.161 – 1, tem mais de 17 milhões de dígitos e foi descoberto este ano.

Um trilhão de triângulos

Este mapa celeste mostra como Saturno, Marte e a estrela brilhante Spica formarão um triângulo celeste na noite de segunda-feira (20 de agosto de 2012). Este mapa mostra sua localização com a lua às 20h30, hora local, das latitudes do centro-norte. (Crédito da imagem: Starry Night Software)

Cerca de 1000 anos atrás, o matemático persa Al Karaji perguntou pela primeira vez quantos números congruentes existiam. Mas o que são números congruentes? Os números são a área de triângulos de ângulo reto com lados de comprimento inteiro ou fracionário. Assim, um triângulo com lados de comprimento 3,4 e 5 teria uma área de ½ * 3*4 = 6, tornando 6 um número congruente.

Demorou mais um milênio antes que os primeiros cem números congruentes fossem descobertos. Em 2009, no entanto, os supercomputadores descobriram os primeiros 3.148.379.694 números congruentes. Alguns desses números são tão enormes que, se seus dígitos fossem escritos em forma decimal, eles se estenderiam até a lua e voltariam. Números gigantescos têm implicações interessantes no armazenamento de dados, porque são tão grandes que um raio gama perdido pode interromper os bits desses números e torná-los errados, disse Borwein.

Número de Graham

Esta ilustração mostra um buraco negro emitindo jatos de plasma em movimento rápido acima e abaixo dele, enquanto a matéria gira em torno de um disco em órbita. (Crédito da imagem: Goddard Space Flight Center da NASA)

Todos esses números empalidecem em comparação com o número de Graham, um número tão grande que simplesmente tentar lembrar de todos os dígitos transformaria sua cabeça em um buraco negro. O número, que a certa altura foi o maior número já usado em uma prova de matemática, surgiu em resposta a um enigma simples sobre como alocar pessoas para um determinado conjunto de comitês com algumas restrições.

Enquanto os matemáticos estão confiantes de que são necessárias pelo menos 13 pessoas para resolver o problema, na década de 1970 o matemático e malabarista Ronald Graham deduziu que o número de pessoas tinha que ser menor do que o número de Graham. Simplesmente calcular o número levaria 64 passos e envolve a multiplicação de um número insanamente grande de 3s.

Não há como escrever o número usando notação científica e, em vez disso, deve ser escrito com uma série de setas para cima que denotam torres de expoentes. Mais tarde, Graham mostrou que o limite superior para este enigma é muito, muito menor do que o número de Graham, mas ainda enorme.

ÁRVORE(3)

Equações não são apenas úteis, elas geralmente são bonitas. (Crédito da imagem: Shutterstock/Fedorov Oleksiy)

Enquanto o número de Graham foi um dos maiores números propostos para uma prova matemática específica, os matemáticos ficaram ainda maiores desde então. Em 1998, o lógico Harvey Friedman, da Ohio State University, propôs um enigma perguntando quanto tempo uma sequência de letras precisa receber certos parâmetros de repetição de trechos de letras. Embora a resposta não seja infinita, é absolutamente enorme.

O número derivado de Friedman, TREE(3), é calculado criando torres de dois cada vez mais massivas elevadas à potência de dois usando algo chamado funções de Ackerman. Para dar uma noção da escala, a quarta função de Ackerman envolve elevar dois à potência de 65.536 dois. Mas TREE(3) é enormemente, massivamente maior do que isso – tão grande que faz o número de Graham parecer um minúsculo grão de poeira em comparação.

“Esses níveis mais altos de grandeza se confundem, onde não se consegue perceber um nível de grandeza de outro”, escreveu Friedman em seu artigo.