Estes são os maiores números do universo - Gizmodo

Existem números que são tão enormes, impossivelmente vastos, que até mesmo escrevê-los exigiria o universo inteiro. Mas aqui está a coisa realmente louca... alguns desses números incompreensivelmente grandes são cruciais para entender o mundo.

Quando digo "o maior número do universo", o que realmente quero dizer é o maior número significativo, o maior número possível que é de alguma forma útil. Existem muitos candidatos a este título, mas já aviso: existe um risco muito real de que tentar entender tudo isso vai te deixar louco. Mas então, com matemática extrema, isso é metade da diversão.

Podemos muito bem começar com o que são provavelmente os dois maiores números que você já ouviu falar, e são de fato os dois maiores números com definições comumente aceitas na língua inglesa. (Existe uma nomenclatura bastante robusta disponível para nomear números tão altos quanto você quiser, mas você não os encontrará em dicionários no momento.) O googol, que desde então se tornou mundialmente famoso (embora com erros ortográficos) na forma de Google, começou a vida em 1920 como uma forma de fazer com que as crianças se interessassem em grande número.

Para isso, o matemático Edward Kasner (foto) levou seus dois sobrinhos, Milton e Edwin Sirotta, em uma caminhada pelas Palisades de Nova Jersey. Ele pediu a eles quaisquer ideias que pudessem ter, e Milton, então com nove anos, propôs "googol". De onde ele conseguiu essa palavra em particular é desconhecido, mas Kasner decidiu que 10^100 - ou, o número um seguido por cem zeros - seria doravante conhecido como googol.

Mas o jovem Milton não terminou - ele também propôs um número ainda maior, o googolplex. Esse número, de acordo com Milton, era 1 seguido de tantos zeros quantos você pudesse escrever antes de se cansar. Embora fosse uma ideia encantadora, Kasner decidiu que era necessária uma definição mais técnica. Como ele explicou em seu livro de 1940, Mathematics and the Imagination, a definição de Milton deixou aberta a arriscada possibilidade de que um bufão aleatório pudesse se tornar um matemático maior do que Albert Einstein simplesmente por possuir maior resistência.

Assim, Kasner decidiu que um googolplex seria 10^googol, ou 1 seguido por um googol de zeros. Para colocar de outra forma - e em notação semelhante a como vamos lidar com vários outros números sobre os quais falaremos - um googolplex é 10^10^100. Para colocar isso em alguma perspectiva alucinante, Carl Sagan uma vez apontou que seria fisicamente impossível escrever todos os zeros em um googolplex, porque simplesmente não há espaço suficiente no universo. Se você preenchesse todo o volume do universo observável com partículas de poeira fina de aproximadamente 1,5 micrômetros de tamanho, então o número de combinações diferentes nas quais você poderia organizar e numerar essas partículas seria de cerca de um googolplex.

Linguisticamente falando, googol e googolplex são provavelmente os dois maiores números significativos (pelo menos em inglês), mas como estamos prestes a descobrir, não há fim de maneiras de definir "significativo".

Se vamos falar sobre o maior número significativo, há um argumento nada terrível de que isso realmente significa que precisamos encontrar o maior número com qualquer significado no mundo real. Podemos iniciar a licitação com a população humana atual, que atualmente é de cerca de 6,92 bilhões. A economia global em 2010 é estimada em cerca de US$ 61,96 trilhões, mas ambos são ofuscados pelos cerca de 100 quatrilhões de células que compõem o corpo humano. Claro, nada disso pode se comparar ao número total de partículas no universo, que geralmente se acredita ser em torno de 10^80 - um número tão grande que nossa linguagem não tem uma palavra consensual para ele.

Podemos brincar um pouco com as medidas à medida que ficamos cada vez maiores - por exemplo, o peso do Sol em toneladas produzirá um valor menor do que se você o medir em libras. A maneira mais justa de fazer isso é usar as unidades de Planck, que são as menores medidas possíveis para as quais as leis da física ainda valem. Por exemplo, a idade do universo no tempo de Planck é de cerca de 8 * 10^60. Se voltarmos à primeira unidade de tempo de Planck após o Big Bang, descobriremos que a densidade do universo era 5,1 * 10^96. Estamos ficando maiores, mas ainda nem chegamos a um googol.

O maior número com qualquer aplicação do mundo real - ou, neste caso, aplicação do mundo real - é provavelmente 10^10^10^7, que é uma estimativa recente do número de universos no multiverso. Esse número é tão grande que o cérebro humano seria literalmente incapaz de perceber todos esses universos diferentes, pois a mente só é capaz de aproximadamente 10^10^16 configurações. Na verdade, esse número é provavelmente o maior com qualquer aplicação prática, supondo que você não acredite em toda a ideia do multiverso. Mas ainda há números muito maiores à espreita por aí. Mas, para encontrá-los, precisaremos nos aventurar no reino da matemática pura, e não há melhor lugar para começar do que com os números primos.

Parte da dificuldade aqui é encontrar uma boa definição do que realmente é um número "significativo". Uma maneira de pensar é em termos de números primos e compostos. Um número primo, como você provavelmente se lembra da matemática do ensino médio, é qualquer número cujos únicos divisores são 1 e ele mesmo. Assim, 2, 3 e 5 são todos números primos, enquanto 4 (2*2) e 6 (2*3) são ambos números compostos. Isso significa que qualquer número composto pode ser reduzido a seus divisores primos. De certa forma, um número como 5 é mais importante do que, digamos, 4 porque não há como expressá-lo em termos de números menores.

Obviamente, podemos estender isso um pouco mais. 100, por exemplo, é realmente apenas 2*2*5*5, o que significa que em um mundo hipotético onde nosso conhecimento de números só subiu para 5, os matemáticos ainda poderiam expressar o número 100. Mas o próximo número 101 é primo, o que significa que a única maneira de expressá-lo é ter conhecimento direto de sua existência. Isso significa que os maiores números primos conhecidos são importantes de uma forma que, digamos, um googol - que em última análise é apenas um monte de 2 e 5 multiplicados - realmente não é. E, como os números primos são essencialmente aleatórios, não há nenhuma maneira conhecida de prever qual número impossivelmente grande será realmente primo. Até hoje, a descoberta de um novo número primo é um grande negócio.

Os matemáticos gregos antigos entendiam o conceito de números primos pelo menos até 500 aC, mas 2000 anos depois as pessoas ainda sabiam quais números eram primos até cerca de 750. Pensadores desde Euclides viram um atalho em potencial, mas não o faria. Só no Renascimento os matemáticos puderam realmente colocar isso em prática. Estes são conhecidos como os números de Mersenne, em homenagem ao estudioso francês do século XVII Marin Mersenne. A ideia é bastante simples: um primo de Mersenne é qualquer número da forma 2^n-1. Então, por exemplo, 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3, que é primo, e o mesmo vale para 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31.

É muito mais rápido e fácil identificar primos de Mersenne do que qualquer outro tipo de primo, e os computadores têm trabalhado duro procurando por eles nas últimas seis décadas. Até 1952, o maior número primo conhecido era 2^127 - 1, um número com 39 dígitos. Naquele ano, os computadores determinaram que 2^521 - 1 é primo, e esse número tem 157 dígitos, o que já o torna muito maior que um googol.

Os computadores estão em busca desde então, e atualmente o 47º primo de Mersenne é o maior conhecido pela humanidade. Descoberto em 2008, é 2^43.112.609 - 1, que é um número com quase 13 milhões de dígitos. Esse é o maior número conhecido que não pode ser expresso em termos de números menores - embora se você quiser ajudar a encontrar um primo de Mersenne ainda maior, você (e seu computador) são sempre bem-vindos para participar da pesquisa.

Vamos ficar com os números primos por um segundo. Como eu disse antes, os primos são fundamentalmente irregulares, o que significa que não há como prever qual será o próximo primo. Os matemáticos tiveram que se esforçar muito para encontrar uma maneira de prever futuros primos, mesmo nos sentidos mais vagos. A mais bem-sucedida dessas tentativas é provavelmente a função de contagem de primos, que o lendário matemático Carl Friedrich Gauss criou no final dos anos 1700.

Vou poupá-lo da matemática mais complexa - ainda temos muito por vir de qualquer maneira - mas a essência da função é esta: para qualquer inteiro x, é possível estimar quantos números primos existem menores que x . Por exemplo, se x = 1.000, a função prevê que deve haver 178 números primos; se x = 10.000, existem 1.246 primos menores que ele; e se x = 1.000.000, então existem 78.628 números menores que são primos.

Aqui está a coisa - os números primos realmente são irregulares, e isso é apenas uma aproximação do número real de primos. Na realidade, sabemos que existem 168 primos menores que 1.000, 1.229 primos menores que 10.000 e 78.498 primos menores que 1.000.000. É uma estimativa excelente, com certeza, mas é sempre apenas uma estimativa... e, mais especificamente, uma superestimativa.

Em todos os casos conhecidos até cerca de 10^22, a função de contagem de primos superestima ligeiramente o número real de primos menores que x. Os matemáticos uma vez pensaram que este seria o caso até o infinito - certamente vale para algumas quantidades inimaginavelmente grandes - mas em 1914 John Edensor Littlewood provou que, em alguma figura desconhecida e incompreensivelmente vasta, a função de contagem de primos começaria fornecendo uma subestimação do número de primos, e então a função alternaria entre superestimar e subestimar um número infinito de vezes.

A caçada estava para o ponto de cruzamento, e é aí que Stanley Skewes (foto) faz sua entrada. Em 1933, ele provou que o limite superior para quando a função de contagem de primos se torna uma subestimativa é 10^10^10^34. É difícil compreender, mesmo no sentido mais abstrato, o que um número como esse realmente é, e até aquele ponto era facilmente o maior número já usado em uma prova matemática séria. Desde então, os matemáticos conseguiram reduzir o limite superior para o número relativamente pequeno de cerca de 10^316, mas o número original permanece conhecido como número de Skewes.

Então, quão grande é 10^10^10^34, um número que supera até mesmo o poderoso googolplex? No The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells relata uma maneira pela qual o matemático GH Hardy conseguiu conceituar o tamanho do número de Skewes:

Hardy o considerou "o maior número que já serviu a qualquer propósito definido na matemática", e sugeriu que se um jogo de xadrez fosse jogado com todas as partículas do universo como peças, sendo um movimento o intercâmbio de um par de partículas, e o jogo terminando quando a mesma posição ocorresse pela 3ª vez, o número de jogos possíveis seria aproximadamente o número de Skewes.

Uma última coisa antes de prosseguirmos: o número de Skewes sobre o qual falamos é o menor dos dois. Há outro número de Skewes que o matemático demonstrou em 1955. O primeiro número depende de algo chamado hipótese de Riemann ser verdade - é uma parte particularmente complexa da matemática que permanece não comprovada, mas é extremamente útil quando se trata de números primos. Ainda assim, se a hipótese de Riemann for falsa, Skewes descobriu que o ponto de cruzamento salta até 10^10^10^963.

Antes de chegarmos ao número que faz até o número de Skewes parecer minúsculo, precisamos falar um pouco sobre escala, porque senão não há como avaliar para onde estamos prestes a ir. Vamos primeiro olhar para o número 3 - é um número minúsculo, tão pequeno que os humanos podem realmente ter uma compreensão intuitiva do que significa. Há muito poucos números que se encaixam nessa descrição, pois qualquer coisa além de seis deixa de ser um número distinto e começa a ser "vários", "muitos" e assim por diante.

Agora, vamos olhar para 3^3, que é 27. Embora não possamos entender intuitivamente o que é 27 da mesma forma que podemos para 3, é perfeitamente fácil visualizar o que é 27 de algo. Até agora tudo bem. Mas e se formos para 3^3^3? Isso é igual a 3^27, ou 7.625.597.484.987. Já passamos do ponto de sermos capazes de visualizar essa quantidade como algo diferente de um número genericamente grande - perdemos a capacidade de compreender as partes individuais em torno de um milhão. (Reconhecidamente, levaria um tempo insanamente longo para realmente contar um milhão de qualquer coisa, mas o ponto é que ainda somos capazes de percebê-lo.)

Mesmo assim, embora não possamos visualizar o que é 3^3^3, pelo menos somos capazes de entender em termos gerais o que é 7,6 trilhões, talvez comparando-o com algo como o PIB dos EUA. Passamos da intuição para a visualização e para a mera compreensão, mas pelo menos ainda temos alguma noção do que é o número. Isso está prestes a mudar, à medida que subimos mais um degrau na escada.

Para isso, precisaremos mudar para uma notação inventada por Donald E. Knuth, conhecida como notação de seta para cima. Nesta notação, 3^3^3 pode ser reescrito como 3^^3. Quando passamos para 3^^^3, o valor de que estamos falando é igual a 3^^(3^^3). Isso é igual a 3^3^3^...^3^3^3, onde há um total de 7.625.597.484.987 termos. Agora superamos todos os outros números que discutimos. Afinal, mesmo o maior deles tinha apenas três ou quatro termos na série exponencial. Por exemplo, mesmo o número dos super-Skewes era "apenas" 10^10^10^963 - mesmo ajustando o fato de que todos esses números são muito maiores que 3, ainda é absolutamente nada comparado a uma torre expoente com 7,6 trilhões de termos .

Obviamente, não há como começar a compreender um número tão grande... e ainda assim, o processo pelo qual ele é criado ainda pode ser entendido. Podemos não ser capazes de entender o número real que é produzido por uma torre expoente com 7,6 trilhões de 3's nela, mas podemos basicamente visualizar uma torre expoente com tantos termos nela, e de fato um supercomputador decente seria capaz de armazenar o torre, mesmo que não pudesse começar a calcular seu valor real.

Isso está ficando cada vez mais abstrato, mas só vai piorar. Você pode pensar que 3^^^^3 é uma torre expoente de 3's que tem 3^^^3 de comprimento (de fato, em uma versão anterior deste post, eu cometi exatamente esse erro), mas isso é apenas 3^^^ 4. Em outras palavras, imagine que você tivesse a capacidade de calcular o valor preciso de uma torre exponencial de 3's que tinha 7.625.597.484.987 termos, e então você pegou esse valor e criou uma nova torre com tantos 3's nela... ^^^4.

Repetir esse processo com cada número sucessivo até que você tenha feito isso 3^^^3 vezes, finalmente, chegará a 3^^^^3. Este é um número que é incompreensivelmente vasto, mas pelo menos os passos envolvidos ainda podem ser compreendidos, se levarmos as coisas muito devagar. Não podemos mais entender o número ou visualizar o procedimento que o criaria, mas pelo menos podemos entender o procedimento básico, mesmo que apenas nos termos mais vagos possíveis.

Agora prepare-se para sua mente ser realmente explodida.

Veja como você chega ao número de Graham, que ocupa um lugar no Guinness Book of World Records como o maior número já usado em uma prova matemática. É totalmente impossível imaginar o quão grande é o número de Graham e, honestamente, não é muito mais fácil explicar exatamente o que é. Basicamente, o número de Graham entra em jogo quando se trata de hipercubos, que é uma forma geométrica teórica com mais de três dimensões. O matemático Ronald Graham (na foto, impressionantemente) queria descobrir qual seria o menor número de dimensões necessárias para que certas propriedades do hipercubo permanecessem estáveis. (Desculpe ser tão vago ao explicar isso, mas tenho certeza de que todos precisaríamos obter pelo menos dois diplomas de pós-graduação em matemática antes de sermos mais específicos.)

De qualquer forma, o número de Graham é o limite superior para este número mínimo de dimensões. E quão grande é esse limite superior específico? Bem, vamos voltar para 3^^^^3, um número tão maior que só podemos entender o procedimento por trás dele no mais vago dos sentidos. Agora, em vez de simplesmente pular mais um nível para 3^^^^^3, vamos considerar o número 3^^....^^3, no qual existem 3^^^^3 setas entre esses dois três. Neste ponto, estamos muito além da compreensão mais ínfima possível do que é um número como este, ou mesmo como você faria para calculá-lo.

Agora repita esse processo mais 62 vezes.

Esse, senhoras e senhores, é o número de Graham, um número que está cerca de 64 ordens de magnitude além do ponto de compreensão humana. Este é um número que é muito maior do que qualquer número que você possa imaginar - inferno, é muito maior do que qualquer infinito que você possa imaginar - que simplesmente desafia até mesmo a mais abstrata das descrições.

Mas aqui está a coisa estranha. Como o número de Graham é basicamente apenas um monte de 3 multiplicados, isso significa que podemos conhecer algumas de suas propriedades sem realmente calcular a coisa toda. Não podemos representar o número de Graham com nenhuma notação familiar - mesmo que usássemos o universo inteiro para escrevê-lo - mas posso dizer agora quais são os últimos doze dígitos do número de Graham: 262.464.195.387. E isso não é nada - sabemos pelo menos os últimos 500 dígitos do número de Graham.

Claro, vale lembrar que esse número é apenas um limite superior para o problema original de Graham. É possível que o número real de dimensões que você precisa para as propriedades manterem seja muito, muito menor. Na verdade, na década de 1980, a opinião considerada da maioria dos especialistas nessa área era que a resposta real era apenas seis - um número tão pequeno que podemos entendê-lo em um nível intuitivo. Desde então, o limite inferior foi aumentado para 13, mas ainda há uma boa chance de que a solução real para o problema de Graham não seja tão grande quanto o número de Graham.

Então, existem números ainda maiores que o número de Graham? Bem, claro que há - há o número de Graham + 1, para começar. Quanto a números significativos... bem, existem algumas áreas diabolicamente complicadas da matemática (particularmente uma área conhecida como combinatória) e da ciência da computação que apresentam números ainda maiores que o número de Graham. Mas nós praticamente atingimos o limite do que eu poderia esperar explicar sensatamente. Para aqueles imprudentes o suficiente para se aprofundar ainda mais, você pode conferir algumas das leituras adicionais por sua conta e risco.

E, no entanto, ainda há algo ainda maior lá fora, algo tão grande que o termo deixa de ter todo o significado: infinito. Então, junte-se a nós na próxima semana para a segunda parte de nossa odisseia nos maiores números imagináveis, enquanto examinamos todos os muitos sabores do infinito. Até lá, deixo-vos com esta incrível citação atribuída a Douglas Reay:

Eu tenho essa visão de hordas de números sombrios espreitando lá fora no escuro, além da pequena esfera de luz lançada pela vela da razão. Eles estão sussurrando um para o outro; tramando quem sabe o quê. Talvez eles não gostem muito de nós por capturarmos seus irmãos menores com nossas mentes. Ou talvez eles apenas vivam estilos de vida exclusivamente numéricos, além do nosso alcance.

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