Grande demais para escrever, mas não grande demais para Graham | plus.maths.org

Recentemente, quando estávamos escrevendo nosso livro Numericon, nos deparamos com o que agora se tornou um dos nossos números favoritos: o número de Graham. Uma das razões pelas quais adoramos é que esse número é grande. Na verdade, isso é um eufemismo. O número de Graham é incrivelmente grande.

Nosso novo número favorito é maior que a idade do Universo, seja medido em anos (aproximadamente 14 bilhões de anos) ou segundos (4,343x1017 segundos). em 1 grama de hidrogênio, que é chamado de mol e é a unidade padrão para medir uma quantidade de uma substância em química ou física.

O número de Graham é maior do que o número de átomos no universo observável, que se acredita estar entre 1078 e 1082. É maior que o 48º primo de Mersenne,

257.885.161-1,

o maior número primo que conhecemos, que tem impressionantes 17.425.170 dígitos. E é maior que o famoso googol, 10100 (um 1 seguido de 100 zeros), que foi definido em 1929 pelo matemático americano Edward Kasner e nomeado por seu sobrinho de nove anos, Milton Sirotta. foi nomeado após este número, embora eles tenham a ortografia errada.)

O número de Graham também é maior que um googolplex, que Milton inicialmente definiu como 1, seguido por zeros até você se cansar, mas agora é comumente aceito como 10googol=10(10100). Um googleplex é significativamente maior que o 48º primo de Mersenne. Você, ou melhor, um computador, pode escrever o 48º primo de Mersenne em sua totalidade, todos os 17.425.170 dígitos dele. são todos 0), nenhuma pessoa, nenhum computador, nenhuma civilização jamais será capaz de escrevê-lo por completo. e seu colega James Newman, disse sobre o googolplex (em seu maravilhoso livro de 1940 Matemática e a imaginação que apresentou ao mundo esses números): "Você terá uma idéia do tamanho desse número muito grande, mas finito, pelo fato de que há não haveria espaço suficiente para escrevê-lo, se você fosse para t a estrela mais distante, percorrendo todas as nebulosas e colocando zeros em cada centímetro do caminho."

O número de Graham é maior que o googolplex. É tão grande que o Universo não contém material suficiente para escrever seus dígitos: é literalmente grande demais para escrever. divisível por 3 e termina em 7.

Uma grande festa

As origens do número de Graham remontam a 1928, quando um jovem e brilhante matemático, Frank Ramsey, notou uma coisa surpreendente quando estava trabalhando em um artigo sobre lógica: a desordem completa parecia ser impossível. de qualquer tamanho sempre estarão lá se o sistema for grande o suficiente.

Esse resultado, que era apenas uma pequena parte do artigo em que ele estava trabalhando, foi o início de um campo totalmente novo da matemática chamado Teoria de Ramsey. Essa área da matemática é frequentemente explicada com o exemplo de uma festa. Suponha que você esteja fazendo uma festa e você quer ter certeza de convidar uma boa mistura de pessoas e decidir acompanhar quem sabe quem. Suponha que você desenhe um mapa dos relacionamentos de todos os seus amigos, ligando duas pessoas com uma borda azul se elas são amigas e com uma borda vermelha se eles forem estranhos. Então você pode acabar com algo assim:

Agora, isso parece bem complicado e precisaria de muita informação para descrever quem está conectado por bordas vermelhas e quem está conectado por bordas azuis. .Este triângulo vermelho é um exemplo de ordem oculta na rede geral confusa. Quanto mais ordenado for um sistema, mais simples será sua descrição. A rede de amizade mais ordenada é aquela que tem todas as arestas da mesma cor: ou seja, todos são amigos ou todos são estranhos.

Ramsey descobriu que não importa quanta ordem você estivesse procurando – fossem três pessoas que eram todas amigas e estranhas ou vinte pessoas que eram todas amigas e estranhas – você tinha a garantia de encontrá-la desde que o sistema que você procurava fosse grande o suficiente. Para garantir um grupo de três pessoas que são todas amigas ou todas estranhas, você precisa de uma rede de amizade de seis pessoas: cinco pessoas não são suficientes, como mostra este contra-exemplo.

O número de pessoas que você precisa para garantir que encontrará três amigos ou três estranhos é chamado de número de Ramsey R(3,3). Conhecemos alguns números de Ramsey: vimos que R(3,3)=6 , e foi provado que R(4,4), o número de pessoas que você precisa para garantir que encontrará quatro amigos ou quatro estranhos, é 18. Mas batemos na parede muito rapidamente. Por exemplo, não sabemos o que R(5,5) é. Sabemos que está entre 43 e 49, mas é o mais próximo que podemos chegar por enquanto.

Parte do problema é que os números na teoria de Ramsey crescem incrivelmente grandes muito rapidamente. são seis arestas e 26=64 cores possíveis. Mas para as relações entre seis pessoas existem quinze arestas e já temos que considerar um desajeitado 215=32.768 cores possíveis. Os matemáticos estão bastante certos de que R(5,5) é igual a 43, mas não encontraram uma maneira de provar isso .Uma opção seria verificar todas as cores possíveis para uma rede de 43 pessoas. Mas cada uma delas tem 903 arestas, então você teria que verificar todas as 2903 cores possíveis – mais cores do que átomos no observável Universo!

Grande demais para escrever, mas não grande demais para Graham

Grandes números sempre fizeram parte da teoria de Ramsey, mas em 1971 o matemático Ronald Graham apresentou um número que superava todos os anteriores. Ele estabeleceu um limite superior para um problema na área que era, na época, o maior número explicitamente definido. Em vez de desenhar redes de relacionamentos entre pessoas em uma folha plana de papel, como fizemos até agora, Graham estava interessado em redes nas quais as pessoas estavam sentadas nos cantos de um cubo.

Nesta imagem podemos ver que para uma determinada fatia diagonal plana através do cubo, uma que contém quatro dos cantos, todas as arestas são vermelhas. Felizmente, porém, os matemáticos também têm uma maneira de pensar em cubos de dimensões superiores. Quanto maior a dimensão, mais cantos existem: um cubo tridimensional tem 8 cantos, um cubo quadridimensional tem 16 cantos, um cubo de cinco dimensões tem 32 cantos e assim por diante. Graham queria saber qual deveria ser a dimensão do cubo para garantir a existência de uma fatia de cor única.

Graham conseguiu encontrar um número que garantia a existência de tal fatia para um cubo dessa dimensão. Mas esse número, como mencionamos anteriormente, era absolutamente enorme, tão grande que é grande demais para escrever dentro do Universo observável. Graham era, no entanto, capaz de definir explicitamente esse número usando uma notação engenhosa chamada notação de seta para cima que estende nossas operações aritméticas comuns de adição, multiplicação e exponenciação.

Podemos pensar na multiplicação como adição repetida:

3 x 3 = 3+3+3

e exponenciação como multiplicação repetida:

33 = 3 x 3 x 3.

Se definirmos a operação de seta única, ↑, como exponenciação, então:

3↑3 = 33 = 3 x 3 x 3 = 27,

então podemos definir a operação de seta dupla ↑↑ para ser

3↑↑3 = 3↑3↑3 = 333 = 327 = 7.625.597.484.987.

Podemos continuar construindo novas operações repetindo as anteriores. A próxima seria a seta tripla

3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3)=3↑↑7.625.597.484.987

uma torre de potências de 3 com 7.625.597.484.987 níveis de altura! (Veja aqui para ler sobre a notação de seta para cima com mais detalhes.)

O número que veio a ser conhecido como número de Graham (não o número exato que apareceu em seu artigo inicial, é um número um pouco maior e um pouco mais fácil de definir que ele explicou a Martin Gardner logo depois) é definido usando esse número notação de seta, em um processo cumulativo que cria torres de energia de três que rapidamente espiralam além de qualquer magnitude que possamos imaginar.

Mas o que amamos no número de Graham é que essa quantidade inimaginavelmente grande não é um conceito teórico: é um número exato. como é definido como uma torre de potências de três. E os matemáticos aprenderam muito sobre os processos usados ​​para definir o número de Graham, incluindo o fato de que uma vez que uma torre de energia seja alta o suficiente, os dígitos decimais mais à direita eventualmente permanecerão os mesmos, não importa quantos níveis você acrescente à sua torre de poderes. O número de Graham pode ser grande demais para ser escrito, mas sabemos que termina em sete. A matemática tem o poder não apenas de definir o inimaginável, mas também de investigá-lo.

Sobre este artigo

Rachel Thomas e Marianne Freiberger são as editoras da Plus. Este artigo é um extrato editado de seu novo livro Numericon: Uma jornada pelas vidas ocultas dos números.